Автор:
Колпаков В.Ю.

Прежде чем начать разговор о законе сохранения импульса, нам надо дать определение замкнутой системы. Для чего это надо? Дело в том, что закон сохранения импульса, как и другие законы сохранения, с которыми вы познакомитесь позднее, выполняются только в замкнутых системах. Так что же это такое?

Замкнутая система - это система, состоящая из двух или более тел, взаимодействующих только между собой. В замкнутой системе на тела не действуют внешние силы, т.е. силы извне системы, или их действие компенсируется.

В результате взаимодействия тел внутри системы их импульс может изменяться.

Но векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых взаимодействиях этих тел.

Это и есть закон сохранения импульса. Рассмотрим его выполнение на примерах. Возьмём два случая взаимодействия одинаковых шаров:

а) Шарик №1 отклоняется на угол а. Как только мы его отпустим, шарик начинает двигаться. Он приобретает скорость, а значит и импульс. Когда он дойдёт до нижней точки своей траектории, он столкнётся со вторым шариком. В момент столкновения силы, действующие на шарики извне компенсируются. Поэтому в данный момент времени систему тел, состоящую из двух шариков, можно считать замкнутой.

В момент касания первый шарик имеет скорость V₁ и импульс p₁=m*V₁. При ударе со стороны первого шарика на второй действует сила F₂₁, под действием которой второй шарик, по второму закону Ньютона, приобретает ускорение. Т.е. начинает двигаться. Но по третьему закону Ньютона, на первый шарик со стороны второго действует равная по величине, но противоположная по направлению сила F₁₂. Под действием этой силы первый шарик, по второму закону Ньютона, приобретает ускорение (которое оказывается направленным в сторону, противоположную его движению) и останавливается.

При этом импульс первого шарика становится равным нулю. Второй шарик в это время приобретает скорость V₂ и импульс p₂=m*V₂, направленные в ту же сторону, что и у первого шарика. Он отклоняется на такой же угол а, останавливается и возвращается назад. В нижней точке, когда шарики соприкоснуться, всё повториться. Второй шарик остановиться, а его импульс передастся первому шарику. Если это будет происходить в вакууме, то шарики будут двигаться так бесконечно долго.

б) Шарики №1 и №2 отклоняются на угол а. Как только мы их отпустим, шарики начнут двигаться. Они приобретают скорость, а значит и импульс. Когда шарики дойдут до нижней точки своей траектории, они столкнутся. В момент столкновения силы, действующие на шарики извне компенсируются. Поэтому в данный момент времени систему тел, состоящую из двух шариков, можно считать замкнутой.

В момент касания первый шарик имеет скорость V₁ и импульс p₁, а второй имеет скорость V₂ и импульс p₂. При ударе со стороны первого шарика на второй действует сила F₂₁, под действием которой второй шарик, по II закону Ньютона, приобретает ускорение направленное в сторону, противоположную его движению и останавливается. Но по III закону Ньютона, на первый шарик со стороны второго действует равная по величине, но противоположная по направлению сила F₁₂, под действием которой первый шарик, по II закону Ньютона, так же приобретает ускорение, направленное в сторону, противоположную его движению и так же останавливается.

При этом импульсы обоих шариков становятся равны нулю. Но по закону сохранения импульса так и должно быть. В момент касания шарики обладают импульсами p₁ и p₂, равными по величине (шарики одинаковые и двигались с одинаковой по величине скоростью), но противоположными по направлению (скорости в момент удара направлены навстречу друг другу). Т.е. векторная сумма импульсов в начальный момент времени (в момент начала удара) равна нулю, так же, как и после удара (шарики остановились).

Получим математическую запись закона сохранения импульса.

По III закону Ньютона, два тела взаимодействуют с силами F₁₂ и F₂₁, равными по величине и противоположными по направлению:

(1)

По II закону Ньютона, каждую из этих сил можно заменить произведением массы на ускорение:

(2)

В свою очередь ускорения мы можем представить в виде:

Заменив в уравнении (2) ускорения полученными выражениями (3) и (4), можем записать:

Сократив левую и правую части на время t получим:

Перегруппируем члены уравнения (6) следующим образом:

Эту же формулу можно переписать в виде:

Попробуем применить полученные нами формулы к рассмотренным ранее опытам с шариками.

Для первого рассмотренного нами случая, формула (7) (в проекции на ось Х) перепишется так:

0 + m₂V_2x=m₁V_01x+ 0

Так как массы шаров равны (m₁=m₂), то будут равны и их скорости. А это значит, что их импульсы так же будут равны. Т.е. при ударе импульс первого шара передаётся второму шару. И, хотя импульс шаров изменяется, суммарный импульс системы остается неизменным и равным

mV_x=m₁V_1x=m₂V_02x

0 + 0=m₁V_01x- m₂V_02x

Далее